Découvrez Comment Résoudre la Plus Longue Séquence de Collatz en Python : Guide Complet et Optimisé

Introduction

Le problème de la séquence de Collatz, aussi connu sous le nom de conjecture de Syracuse, fascine les mathématiciens depuis des décennies. Ce problème, formulé par Lothar Collatz en 1937, consiste à appliquer une suite de transformations simples à un nombre entier positif, selon les règles suivantes :

• Si le nombre est pair, on le divise par 2.
• Si le nombre est impair, on le multiplie par 3 et on ajoute 1.

La conjecture suggère que cette processus finira toujours par atteindre le nombre 1, quelle que soit la valeur initiale. Bien que cette conjecture n’ait pas encore été prouvée pour tous les entiers positifs, elle revêt un intérêt particulier en informatique pour l’étude des propriétés émergentes des systèmes dynamiques.

Comprendre le Problème de Collatz

1. Définition de la Conjecture de Collatz

La règle est assez simple :
– Pour un nombre pair ( n ), le suivant dans la séquence est ( n / 2 ).
– Pour un nombre impair ( n ), le suivant est ( 3n + 1 ).
– La séquence se termine lorsque ( n ) atteint 1.

2. Exemples illustratifs

Pour mieux comprendre, examinons quelques séquences :

• Séquence pour le nombre 6 :
• 6 est pair, donc 6 / 2 = 3
• 3 est impair, donc 3 * 3 + 1 = 10
• 10 est pair, donc 10 / 2 = 5
• 5 est impair, donc 5 * 3 + 1 = 16
• 16 → 8 → 4 → 2 → 1
• Séquence pour le nombre 19 :
• 19 → 58 → 29 → 88 → 44 → 22 → 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

Approche Basique en Python

1. Structure de l’algorithme simple

La solution naïve parcourt chaque nombre jusqu’à atteindre 1, en conservant la longueur de la séquence.

def collatz_sequence_length(n):
    length = 1
    while n != 1:
        if n % 2 == 0:
            n = n // 2
        else:
            n = 3 * n + 1
        length += 1
    return length

2. Code Expliqué

• Entrée et Sortie : Prenez un nombre entier positif et retournez la longueur de sa séquence de Collatz.
• Initialisation : Commencez par initialiser length à 1, puisque nous comptons le nombre lui-même.
• Boucle : Continuez à ajuster n jusqu’à ce qu’il devienne 1, en suivant les règles définies.

3. Tester l’algorithme

Pour tester notre fonction, essayons quelques petits entiers :

print(collatz_sequence_length(6))  # Devrait retourner 9
print(collatz_sequence_length(19)) # Devrait retourner 21

Optimisation de l’Algorithme

1. Identifier les Goulots d’Étranglement

L’approche basique répète inutilement des calculs pour différents nombres qui convergent vers les mêmes sous-séquences.

2. Techniques d’Optimisation

Utilisation de la Mémorisation

Nous allons utiliser un dictionnaire pour stocker les longueurs déjà calculées :

memo = {}

def collatz_sequence_length_optimized(n):
    original_n = n
    sequence = []
    while n != 1 and n not in memo:
        sequence.append(n)
        if n % 2 == 0:
            n //= 2
        else:
            n = 3 * n + 1
    # Add memoized results
    length = memo.get(n, 1)
    while sequence:
        current = sequence.pop()
        length += 1
        memo[current] = length
    return memo[original_n]

3. Codage des Optimisations

La réécriture précédente enrichie par la mémorisation réduit drastiquement les recalculs.

Utiliser des Bibliothèques Python pour l’Optimisation

1. Bibliothèques efficaces

• NumPy : Pour des opérations vectorisées.
• Cython : Conversion de portions de code Python en C pour améliorer les performances.

2. Exemple de Code Optimisé

Bien que notre fonction avec memo soit déjà efficace, l’intégration de solutions Cython reste hors du champ de cet article mais mérite une exploration pour des exécutions volumineuses.

Études de Cas et Scénarios Réels

1. Application sur de grands nombres

L’évaluation de notre algorithme pour de grands ( n ) montre une échelle bien meilleure grâce à la mémorisation.

2. Analyse Fins des Séquences

Nous pouvons tracer les longueurs et observer des motifs intéressants qui restent une source de curiosité académique :

import matplotlib.pyplot as plt

def plot_collatz(max_n):
    lengths = [collatz_sequence_length_optimized(i) for i in range(1, max_n + 1)]
    plt.plot(range(1, max_n + 1), lengths)
    plt.xlabel('Nombre initial')
    plt.ylabel('Longueur de la séquence')
    plt.title('Longueur des séquences de Collatz')
    plt.show()

plot_collatz(10000)

Conclusion

Notre voyage à travers la séquence de Collatz en Python démontre l’impact significatif des techniques d’optimisation dans l’algorithme. La mémorisation illustre comment transformer une solution lente en version plus puissante. Pour les passionnés, la séquence de Collatz reste un défi ouvert captivant pour de futures recherches.

Annexes

• Références: Études académiques et articles sur la conjecture de Collatz.
• Ressources supplémentaires: Guides de programmation dynamique et mémoire cache.
• Glossaire: Termes comme « Conjecture », « Modulation », « Séquence ».