Trouver les Tangentes Communes à Deux Cercles avec Python : Guide Étape par Étape

Trouver les Tangentes Communes à Deux Cercles avec Python : Guide Étape par Étape

Introduction

Trouver les tangentes communes à deux cercles est un problème classique en géométrie et en programmation. Ce problème survient souvent dans des applications telles que la conception de mécanismes, la modélisation graphique, et l’analyse mathématique. L’objectif de cet article est de vous guider étape par étape pour déterminer les tangentes communes à deux cercles en utilisant le langage de programmation Python.

Concepts de Base

Géométrie des Cercles

Un cercle est défini par son centre ((x, y)) et son rayon (r). En géométrie, une tangente à un cercle est une ligne droite qui touche le cercle en un seul point. Nous avons principalement deux types de tangentes communes:

  • Tangentes externes : Elles touchent les cercles de l’extérieur et ne traversent pas l’espace entre les cercles.
  • Tangentes internes : Elles passent entre les cercles et les touchent sans pénétrer à l’intérieur.

Introduction à la Tangente Commune

Une tangente commune est une ligne qui est tangente à deux cercles simultanément. Pour que deux cercles aient des tangentes externes communes, la distance entre leurs centres doit être supérieure à la somme des deux rayons. Pour des tangentes internes, la distance entre les centres doit être supérieure à la différence absolue de leurs rayons.

Préparation

Outils et Librairies Python Nécessaires

Pour résoudre notre problème, nous utiliserons les bibliothèques suivantes :

  • math: pour les fonctions mathématiques essentielles.
  • matplotlib: pour la visualisation graphique des cercles et des tangentes.

Vous pouvez installer matplotlib en utilisant pip :

pip install matplotlib

Compréhension des Données d’Entrée

Les données d’entrée se composent des coordonnées des centres des deux cercles ainsi que de leurs rayons respectifs. Par exemple, deux cercles peuvent être définis par : ((x1, y1, r1)) et ((x2, y2, r2)).

Algorithme pour Trouver les Tangentes Communes

Étape 1 : Analyser la Position Relative des Cercles

Tout d’abord, calculons la distance (d) entre les centres des deux cercles :

[ d = \sqrt{(x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2} ]

Les cas possibles sont :

  • Cercles séparés ((d > r1 + r2)) : existemment de tangentes externes.
  • Cercles tangents ((d = r1 + r2) ou (d = |r1 – r2|)) : exactement une tangente commune externe ou interne.
  • Cercles intersectants ((|r1 – r2| < d < r1 + r2)) : possibilité de tangentes internes.

Étape 2 : Calculs Préliminaires

Pour établir les points de tangence, nous devons calculer un angle auxiliaire (\theta) qui détermine la direction de la tangente par rapport à l’axe horizontal :

[ \theta = \arccos\left(\frac{r1 \pm r2}{d}\right) ]

Étape 3 : Trouver les Points de Tangence

Les coordonnées des points de tangence pour les tangentes externes et internes sont calculées en utilisant les formules dérivées de l’angle auxiliaire (\theta). Prenons l’exemple des tangentes externes :

import math

def find_tangents(x1, y1, r1, x2, y2, r2):
    d = math.sqrt((x2 - x1)**2 + (y2 - y1)**2)
    # Existence de tangentes externes
    if d > r1 + r2:
        angles = [math.acos((r1 + r2) / d), -math.acos((r1 + r2) / d)]
    else:
        return None  # Aucune tangente externe possible

    tangents = []
    for angle in angles:
        dx = x2 - x1
        dy = y2 - y1
        base_angle = math.atan2(dy, dx)
        for sign in [-1, 1]:
            theta = base_angle + sign * angle
            tangent_x = x1 + r1 * math.cos(theta)
            tangent_y = y1 + r1 * math.sin(theta)
            tangents.append((tangent_x, tangent_y))

    return tangents

Implémentation en Python

Implémentation du Code

En utilisant les concepts ci-dessus, voici comment vous pouvez structurer votre programme Python pour trouver et visualiser les tangentes communes :

import matplotlib.pyplot as plt

def draw_circles_and_tangents(x1, y1, r1, x2, y2, r2, tangents):
    fig, ax = plt.subplots()

    # Dessiner les cercles
    circle1 = plt.Circle((x1, y1), r1, color='blue', fill=False)
    circle2 = plt.Circle((x2, y2), r2, color='red', fill=False)
    ax.add_artist(circle1)
    ax.add_artist(circle2)

    # Dessiner les tangentes
    if tangents:
        for tx, ty in tangents:
            ax.plot([x1, tx], [y1, ty], 'green')
            ax.plot([x2, tx], [y2, ty], 'green')

    ax.set_xlim(min(x1, x2) - max(r1, r2), max(x1, x2) + max(r1, r2))
    ax.set_ylim(min(y1, y2) - max(r1, r2), max(y1, y2) + max(r1, r2))
    ax.set_aspect('equal', 'box')
    plt.grid(True)
    plt.show()

x1, y1, r1 = 0, 0, 5
x2, y2, r2 = 10, 0, 3

tangents = find_tangents(x1, y1, r1, x2, y2, r2)
draw_circles_and_tangents(x1, y1, r1, x2, y2, r2, tangents)

Visualisation des Résultats

L’exécution de ce code graphique aide à vérifier visuellement les tangentes entre les cercles. Ce script trace des cercles et les relie via leurs tangentes vertes, rendant l’interprétation des résultats simple et intuitive.

Tests et Validation

Testez le code avec différents ensembles de données pour valider toutes les situations géométriques, comme un simple test de tangentes internes et externes avec des cercles distant de plusieurs unités.

Applications et Extensions

Les tangentes communes trouvent des applications dans plusieurs domaines, comme la planification de trajectoires en robotique ou la conception architecturale. L’algorithme actuel peut être étendu pour inclure plus de cercles en utilisant des techniques d’intersection d’ensemble géométrique.

Conclusion

Nous avons parcouru les principes fondamentaux pour déterminer les tangentes communes aux cercles en utilisant Python, couplés aux concepts géométriques de base. Ce guide permet de comprendre l’importance et la facilité avec laquelle la géométrie computationnelle peut être intégrée dans des applications modernes grâce à Python.

Ressources Supplémentaires

FAQ

Q : Pourquoi certaines configurations de cercles n’ont-elles pas de tangentes externes ?
R : Lorsqu’un cercle est trop près d’un autre, ou qu’ils se touchent/intersectent, les tangentes externes ne peuvent pas être définies.

Q : Comment optimiser les performances pour un grand nombre de cercles ?
R : L’optimisation peut inclure l’ajout de structures de données pour réduire les calculs inutiles (par exemple, utiliser des arbres de segments géométriques).

Références

  1. Geométrie pour développeurs : concepts clés
  2. Principes de la géométrie des cercles

Annexe

Vous pouvez trouver le code source complet utilisé avec les diagrammes explicatifs en annexe sur GitHub.

En espérant que cet article enrichisse votre compréhension et inspire vos futurs projets de géométrie computationnelle avec Python !